Η ιστορία των Μαθηματικών με Εικόνες

Πυθαγώρειο Θεώρημα

Το πυθαγόρειο θεώρημα σε αραβικό κείμενο. Η απόδειξη που δίδεται είναι εκείνη του Ευκλείδη με το χαρακτηριστικό διάγραμμα “ανεμόμυλος”, το οποίο καταδεικνύει γεωμετρικά την απόδειξη.

Τα στοιχεία

Μεσαιωνικό λατινικό αντίγραφο από τα αραβικά, που συνήθως αποδίδεται στον Αδελάρδο του Μπαθ, αλλά είναι πιθανότητα ένα επιπλέον αντίγραφο.Οι προτάσεις εδώ απλώς διατυπώνονται με την βοήθεια διαγραμμάτων. Τα μόνα σχόλια σχετικά με αποδείξεις βρίσκονται στο βιβλίο Ι του χειρογράφου, κάτι που ενισχύει την άποψη ότι οι γνώσεις γεωμετρίας κατά τον Μεσαίωνα περιορίζονταν μόνο στα απλούστερα βιβλία των Στοιχείων.

Δέκα Υπολογιστικοί Κανόνες

Το πρόβλημα του σπασμένου μπαμπού, από το βιβλίο του Γιανγκ Χούι Σιανγκτσιέ Τσιουσάνγκ σουανφά (1261), λεπτομερής σχολιασμός των υπολογιστικών μεθόδων των Εννέα Κεφαλαίων.Το παραγόμενο ορθογώνιο τρίγωνο χρησίμευε σε μία ολόκληρη σειρά προβλημάτων, μεταξύ των οποίων και το πυθαγόρειο.

Μαθηματικές Σούτρες

Αστρονόμοι παρατηρούν τα αστέρια με θεοδόλιχο, όργανο ικανό να μετράει κατακόρυφες και οριζόντιες αποστάσεις, και συμβουλεύονται σανσκριτικά κείμενα αστρονομίας και τριγωνομετρίας, γνωστά με το όνομα Σιδχάντες.

Το σπίτι της Σοφίας

Τούρκικο χειρόγραφο του 16ου αι. Το Ζουμπντάτ αλ-Ταβαρίκ (Θησαυρός της ιστορίας) του Λοκμάν, τονίζει τη μυστικιστική πλευρά της μουσουλμανικής κοσμολογίας. Κάθε ένας από τους πλανήτες αντιστοιχεί σε έναν προφήτη, στους οποίους περιλαμβάνονται οι Μωυσής και Ιησούς. Πέρα από τους ζωδιακούς και σεληνιακούς οίκους βλέπουμε το βασίλειο των αγγέλων, οι οποίοι φαίνεται να στρέφουν το Σύμπαν.

Οι Ελεύθερες Σπουδές

Αναπαράσταση αστρονομίας από το βιβλίο του Γκρέγκορ Ράις Margarita philosophica (1503). H μορφή κραταεί έναν τετράντα ο οποίος, με τη βοήθεια αστρονομικών πινάκων, μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να μετρήσει το γεωγραφικό πλάτος και την ώρα της ημέρας.

Χάρτης του ουρανού με τα σημεία του ζωδιακού κύκλου, από τον Καταλανικό Ατλαντα του Αβραάμ Κρέσκες. 14ος αι.

Η προοπτική της Αναγέννησης

Πιέρο ντελλα Φραντσέσκα, Ευαγγελισμός, Η Παναγία και το Βρέφος με αγίους. Βλέπουμε εδώ την αυστηρή χρήση της προοπτικής και τη θρησκευτική απαίτηση οι μορφές να είναι λίγο μεγαλύτερες απ’ότι θα περίμενε κανείς, με δεδομένα τα αρχιτεκτονικά μεγέθη.

Μιχαήλ Αγγελος. Η Δευτέρα Παρουσία. Από το έδαφος, οι μεγαλύτερες μορφές που βρίσκονται ψηλότερα φαίνονται να έχουν το ίδιο μέγεθος όσο και οι χαμηλότερες.Η κατασκευή είναι ίδια με εκείνη της στήλης του Ντύρερ σ’αυτή τη σελίδα.

Μαθηματικά για τον κοινό πλούτο

Το κάστρο της γνώσης (1556), κείμενο κοσμολογίας του Ρόμπερτ Ρέκορντ. Αυτή η προμετωπίδα δείχνει τους παιδαγωγικούς στόχους του Ρέκορντ και τον θρίαμβο της λογικής επί της αυθεντίας. Η άγνοια στέκεται επισφαλώς πάνω σε μία σφαίρα, σε αντίθεση με τη γνώση, που στέκεται σταθερά και σίγουρα πάνω στη βάση της.

Γαλλικό κείμενο του 16ου αι. αναφερόμενο στρη θεωρία και τη χρήση της σταυρωτής ράβδου, ενός οργάνου που χρησιμοποιούσαν στη μέτρηση του ύψους του ήλιου και του πολικού αστέρα, ώστε να μπορούν οι ναυτικοί να υπολογίζουν το γεωγραφικό τους πλάτος στη θάλασσα.

Το εξαιρετικά δημοφιλές αυτό εργαλείο υπολογισμών, τα “κόκαλλα” ή οι νεπέρειες ράβδοι, ήταν από ξύλινα ή φιλντισένια τετράπλευρα ραβδιά.Σ΄αυτή την εξελιγμένη κατασκευή, τα ραβδιά είναι πακτωμένα σ’ένα πλαίσιο και μπορούν να περιστραφούν.Η συσκευή αυτή μετέτρεπε τους μακροσκελείς πολλαπλασιασμούς σε μία σειρά από απλές προσθέσεις.

Ο Γάμος της Άλγεβρας & της Γεωμετρίας

Η Απαρίθμηση καμπυλών τρίτου βαθμού του Νεύτωνα ήταν θρίαμβος για την αλγεβρική και την αναλυτική γεωμετρία, καθώς χρησιμοποιούσε τον απειροστικό λογισμό για την ανακάλυψη καινούργιων ιδιοτήτων των καμπυλών.Εδώ βλέπουμε αλγεβρικές παραστάσεις για τα εμβαδά που ορίζονται από τις υπό μελέτη καμπύλες.

Η Απαρίθμηση καμπυλών τρίτου βαθμού,παράρτημα της Οπτικής του Νεύτωνα (1704), δείχνει ότι ο γάμος άλγεβρας και γεωμετρίας είχε φτάσει σε μία μορφή που είναι αναγνωρίσιμη. Το κάθε σημείο του επιπέδου δηλωνόταν από μία συντενταγμένη (χ,y), η τιμή της οποίας ικανοποιούσε την εξίσωση που απεικόνιζε.

Το ωρολογιακό σύμπαν

Κελλάριος. Atlas Coelestis, 1660, εικονογράφηση του πλανητικού συστήματος του Κοπέρνικου. Έχουν συμπεριληφθεί και οι άγνωστοι στον Κοπέρνικο δορυφόροι του Δία, που τους ανακάλυψε αργότερα ο Γαλιλαίος.

Το μοντέλο του Κέπλερ για τα κιβωτισμένα πλατωνικά στερεά από το Mysterium cosmographicum (1596) ήταν η πρώτη του προσπάθεια να εξηγήσει τις σχετικές αποστάσεις ανάμεσα στους πλανήτες. Η εξωτερική σφαίρα παριστάνει τον Κρόνο, και μέσα της έχει έναν εγγεγραμμένο κύβο. Μια σφαίρα εγγεγραμμένη στον κύβο παριστάνει την τροχιά του Δία και ούτω καθ’ εξής μέχρι την τροχιά του Ερμή.

Τα μαθηματικά σε κίνηση

Κελλάριος, Ουράνιος άτλαντας, 1660. Αυτό το πλούσια εικονογραφημένο έργο εξέταζε τις διάφορες πλανητικές θεωρίες της εποχής. Μέσα σε ελάχιστα χρόνια τα Principia (1687) του Νεύτωνα θα ανέτρεπαν τη μαθητική φυσική και την πλανητική θεωρία.

Κελλάριος, Ουράνιος άτλαντας, 1660. Αυτό το πλούσια εικονογραφημένο έργο εξέταζε τις διάφορες πλανητικές θεωρίες της εποχής. Μέσα σε ελάχιστα χρόνια τα Principia (1687) του Νεύτωνα θα ανέτρεπαν τη μαθητική φυσική και την πλανητική Βιβλίο 1, Πρόταση 1, Θεώρημα 1 από τα Principia του Νεύτωνα που δείχνει την τροχιά που ακολουθεί ένα σωματίδιο υπό την επίδραση της κεντρομόλου δύναμης από ένα τέτοιο σωματίδιο είναι ανάλογο προς τον χρόνο της κίνησης, γενικεύοντας έτσι τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ.

Ωκεανοί και αστέρια

Χάρτης του κόσμου του 1513 σύμφωνα με τη Γεωγραφία του Πτολεμαίου, η οποία μόλις πρόσφατα είχε επανεκδοθεί στην Ευρώπη.

Γαλλικό σχέδιο του 16ου αι. που δείχνει έναν ναυτικό να σημαδεύει ένα αστέρι για να βρεί το πλάτος του. Αυτός ο πρωτόγονος θεοδόλιχος μπορούσε να μετρήσει και κατακόρυφες αλλά και οριζόντιες γωνίες.

Ο Αστρονόμος του Γιοχάνες Βερμέερ, 1688. Με βελτιωμένα τηλεσκόπια και πρόσβαση στο νότιο ημισφαίριο, οι αστρονόμοι πρόσθεσαν νέα αστέρια στους ουρανούς. Γήινες και ουράνιες σφαίρες χρησιμοποιούνταν ευρύτατα ως εποπτικά μέσα αλλά και ως διακοσμητικά σύμβολα της καινούργιας γνώσης.

Νέες γεωμετρίες

Η επιφάνεια Ρήμαν της συνάρτησης (z2-1)1/4. Για να πάρουμε μια ιδέα της επιφάνειας του Ρήμαν, σε ένα μιγαδικό επίπεδο δύο διαστάσεων ο αριθμός i=ν-1 μπορεί να ερμηνευθεί ως μια αριστερή στροφή 90 μοιρών. Τέσσερις τέτοιες στροφές του σημείου (1,0) το έφερναν πίσω εκέι που ξεκίνησε, δηλαδή i4=1., όμως ο Ρήμαν προσπάθησε να διακρίνει αυτά τα δύο δημιουργώντας πολλαπλά επισωρευμένα σαν θημωνιά, μιγαδικά επίπεδα τα οποία συνδεόνται δημιουργώντας ένα σχήμα σαν ανοιχτήρι μπουκαλιών.

Επιφάνεια Ρήμαν της συνάρτησης (z4)-1/4, όπου z ο μυγαδικός. Η διάλεξη που έδωσε ο Ρήμαν το 1854 έδωσε νέες και ευρύτερες προοπτικές για το αντικείμενο της γεωμετρίας, αποκαλούμενος γι’ αυτό “νέος Ευκλείδης”.

Οι διάλεκτοι της Αλγεβρας

ΠΡΟΤΑΣΗ Ι
Όλες οι λειτουργίες της γλώσσας ως οργάνου της λογικής μπορούν να εκτελεστούν από ένα σύστημα σημείων, το οποίο αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία:
1ον. Κυριολεκτικά σύμβολα όπως x,y κ.λ.π., τα οποία αναπαριστούν αντικείμενα αντίληψης μας.
2ον. Σημεία πράξεων όπως τα +,-,χ, τα οποία αναπαριστούν τις λειτουργίες εκείνες του μυαλού, με τις οποίες οι έννοιες των πραγμάτων συνδυάζονται ή αναδιατάσσονται για να σχηματίσουν καινούργιες έννοιες που περιλαμβάνουν τα ίδια στοιχεία.
3ον. Το σημέιο της ισότητας, =.
Και αυτά τα σύμβολα της λογικής υπόκεινται σε συγκεκριμένους νόμους, οι οποίοι εν μέρει συμφωνούν και εν μέρει διαφωνούν με τους νόμους των αντίστοιχων συμβόλων της επιστήμης της άλγεβρας.

Πεδία Δράσης

Τόμας Ράιτ, Πρωτότυπη θεωρία ή νέες υποθέσεις περί σύμπαντος, βασισμένες στους νόμους της φύσης, που επιλύει με μαθηματικές αρχές τα γενικά φαινόμενα της ορατής δημιουργίας και ιδιαίτερα του Γαλαξία, 1710. Αυτή η εικόνα αναπαριστά άπειρα σύμπαντα με το μάτι της Θείας Πρόνοιας στο κέντρο του καθενός.

Φωτογραφία θετικής ηλεκτρικής εκκένωσης παρμένη το 1892 από τον Άλαν Άρτσιμπαλντ Κάμπελ Σουίντον.

Συλλαμβάνοντας το άπειρο

Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ (1862-1943) πρότεινε στον Πεανό μία παρόμοια καμπύλη που γέμιζε όχι το επίπεδο αλλά τον χώρο: μία μονοδιάστατη δηλαδή γραμμή που κάλυπτε έναν τρισδιάστατο κύβο.Αυτές όπως και άλλες ανάλογες φαινομενικά παράλογες ιδέες έκαναν τους μαθηματικούς να εξετάσουν από πιο κοντά την φύση των αριθμών, την έννοια του χώρου και την ασαφή έννοια του απείρου.

Αυτές οι ανακλαστικές σφαίρες είναι ένα παράδειγμα αυτόομοιότητας. Η κεντρική σφαίρα γεννάει άλλες σφαίρες μισής ακτίνας από την ίδια, η καθεμία από τις οποίες γεννάει επιπλέον σφαίρες με την ίδια διαδικασία. Εάν συνεχίσουμε έτσι, το εμβαδόν των επιφανείων τείνει προς το άπειρο, ενώ ο συνολικός όγκος παραμένει φραγμένος και πεπερασμένος.

Ζάρια & Γονίδια

Δεν γνωρίζω τίποτε ικανότερο να εξάψει τη φαντασία από την υπέροχη μορφή κοσμικής τάξης που εκφράζει ο “νόμος της συχνότητας σφάλματος”. Αν οι Έλληνες τον γνώριζαν θα τον είχαν προσωποποιήσει και θεοποιήσει. Βασιλεύει γαλήνιος και ταπεινός μέσα στην πιο άναρχη σύγχυση. Όσο μεγαλύτερο το πλήθος και η αναρχία τόσο σταθερότερη η εξουσία του. Είναι ο ύψιστος νόμος του παραλογισμού. Κάθε φορά που θεωρούμε ένα μεγάλο δείγμα χαοτικών στοιχείων και προσπαθούμε να τα ταξινομήσουμε κατά μέγεθος, ανακαλύπτουμε ότι σε όλη τη διαδικασία ενυπήρχε ευθύς εξαρχής μια υπέροχη μορφή κανονικότητας.
Σερ Φράνσις Γκώλτον, Φυσική κληρονομιά, 1889

Πολεμικά Παιχνίδια

Τα πλάσματα, που είναι γνωστά με το χαϊδευτικό όνομα “blockies” εμπλέκονται σε ένα παιχνίδι ελέγχου του πράσινου κύβου. Είναι αποτέλεσματα προσομοίωσης μιας δαρβινικής διαδικασίας μέσω της οποίας τα σώματα τους και η συμπεριφορά τους εξελίσονται για να φτάσουν κάποια στιγμή να εκτελούν ορισμένες ενέργειες.

Τα πλάσματα, που είναι γνωστά με το χαϊδευτικό όνομα “blockies” εμπλέκονται σε ένα παιχνίδι ελέγχου Σε κάθε γενιά, επιβιώνουν τα πιο πετυχημένα πλάσματα και αναπαράγονται με μεταλλάξεις και ανασυνδυασμούς στο γενετικό υλικό των απογόνων τους. Όταν ο κύκλος επιλογής και μεταλλαγής συνεχιστεί για πολλές γενιές, οι πετυχημένες στρατηγικές “εφευρίσκονται” αυτόματα, χωρίς ανθρώπινη παρέμβαση. Ο πράσινος κύβος είναι τώρα μέσα στα όρια.

Μαθηματικά & Μοντέρνα Τέχνη

Μάρσελ Ντυσάν, Γυμνό που κατεβαίνει τις σκάλες, Νο 2, 1912. Πίνακας επηρεασμένος από τη “γεωμετρική χρονοφωτογράφιση” του Μάρεϋ και την κινηματογραφία του Μάυμπριτζ από τη δεκαετία του 1980. Ο Ντυσάν δημιουργεί έναν πιο πλαστικό κυβισμό αναπαριστώντας μια χρονική τέταρτη διάσταση σε έναν δισδιάστατο καμβά.

Σαλβαδόρ Νταλί. Το μυστήριο του Μυστικού Δείπνου, 1955. Η ευκλείδεια γεωμετρία συνέχισε να εμπνέει τους καλλιτέχνες. Εδώ βλέπουμε τον Μυστικό Δείπνο να λαμβάνει χώρα μέσα σε ένα κανονικό δωδεκάεδρο, το πλατωνικό σύμβολο του σύμπαντος.

Κώδικες Μηχανής

Μεσαιωνικά λογιστικά ραβδιά σαν αυτά που χρησιμοποιούσαν στο αγγλικό Υπουργείο Οικονομικών μέχρι το 1826, οπότε αναβάθμισαν την τεχνολογία τους σε χαρτί και μελάνι.
Τα ποσά που εισέρεαν στο υπουργείο χαράσσονταν στο πλάι των ραβδιών τα οποία μετά χωρίζονταν σε δυο κομμάτια, ένα για κάθε κόμμα.

Το Μουσείο Επιστημών του Λονδίνου κατασκεύασε το 1991 την πρώτη πλήρη μηχανή διαφορών για να τιμήσει τα 200 χρόνια απ’ τη γέννηση του Τσάρλς Μπάμπιτζ. Αποτελείται απο 4.000 μέρη και ζυγίζει πάνω από 2,5 τόνους. Η μηχανή όπως την είχε συλλάβει ο Μπάμπιτζ θα ήταν ένας πλήρως αυτοματοποιημένος υπολογιστής με δυνατότητα εκτυπώσεων και μια ατμομηχανή για ενεργειακή πηγή.

Αναπαράσταση του Κολοσσού, αποκωδικοποιητή ηλεκτρονικού υπολογιστή στο Bletchley Park (1977). Ήταν ο πρώτος ηλεκτρονικά προγραμματιζόμενος υπολογιστής στον κόσμο και βοήθησε τους κρυπτογράφους να σπάσουν τον γερμανικό κώδικα Λόρεντς κατά τη διάρκει του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου.

Αναπαράσταση του Κολοσσού, αποκωδικοποιητή ηλεκτρονικού υπολογιστή στο Bletchley Park (1977). Τροχιές σωματιδίων από τομ Μεγάλο Ευρωπαικό Θόλο του CERN.
Οι υπολογιστές έχουν φτάσει σε τέτοιες ταχύτητες και υπολογιστική ισχύ που βοηθούν τους φυσικούς να εξερευνήσουν τις θεμελιακές δυνάμεις της φύσης.
Πολύ λιγότερη ισχύς χρειάστηκε για να παραχθεί το βιβλίο που διαβάζετε!

Χάος & Πολυπλοκότητα

Το σύνολο Ζυλιά σχετίζεται στενά με το σύνολο Μάντελμπροτ. Εδώ οι διαδοχικές επαναλήψεις γίνονται χρησιμοποιώντας όχι μιγαδικούς αλλά τα κουατέρνια του Χάμιλτον.
Αυτή η τρισδιάστατη διατομή ενός τετραδιάστατου κλασματοειδούς γίνεται καλύτερα αντιληπτή όταν κινείται στην οθόνη.

Χαρούμενος Ενόν του Μπράιαν Μελούν, στο κέντρο Γεωμετρίας του Πανεπιστημίου της Μινεσότα, 1993. Ο κλασματοειδής χάρτης του Ενόν δίδεται από την εξίσωση Η(x,y)=(x2-ay+b,x) όπου a και b αυθαίρετες παραμέτροι.
Για a=0, o χάρτης εκφυλίζεται στη μονοδιάστατη λογιστική εξίσωση. Η εικόνα εδώ δείχνει σημεία που είναι φράγματα κάτω από επαναλήψεις τόσο του χάρτη Ενόν όσο και του αντιστρόφου του.

Αυτός ο δράκος του Μάντελμπροτ αναδύεται απ’ τη συνάρτηση f(z)=z2-m, όπου z σημείο του μιγαδικού επιπέδου και m η μεταβαλλόμενη τιμή. Το μαύρο μέρος του επιπέδου δείχνει τις τιμές του z για τις οποίες η συνάρτηση τείνει προς το άπειρο καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων τείνει και αυτός προς το άπειρο.

Στιγμιότυπα από δύο σύμπαντα κυτταρικών αυτομάτων. Το χρώμα του κάθε πίξελ ή κυττάρου (κελιού), δηλώνει την κατάσταση του, η οποία μπορεί να αλλάξει στο επόμενο χρονικά βήμα, ανάλογα με την κατάσταση των κελιών που το περιβάλλουν.
Αρχίζοντας από ένα τυχαία τοποθετημένο σύμπαν, τέτοιοι απλοί κανόνες μπορούν να δημιουργήσουν εξελισσόμενα συστήματα με πολύπλοκες δομές κάπου ανάμεσα στην τάξη και το χάος.