Βάση Ασκήσεων

Ιστορική μνήμη και ιστορικό περιβάλλον

Οι Έλληνες κάνουν την εμφάνιση τους στην ιστορία ως εισβολείς από το βορρά που κατέλαβαν το χώρο ανάμεσα στο Ιόνιο και στο Αιγαίο πέλαγος. Έδειξαν ακόρεστη διάθεση απ΄τους παλαιότερους γείτονές τους και να ξεπεράσουν τη σοφία των Αιγυπτίων και των Μεσοποταμίων που κληρονόμησαν. Ο ελληνικός κόσμος συνδέονταν περισσότερο με πολιτιστικούς παρά με φυλετικούς δεσμούς. Μπορεί να χωριστεί σε δύο μεγάλες φάσεις, που οριοθετούνται μεταξύ τους από τον Αλέξανδρο τον Μέγα¨ από την άποψη των μαθηματικών αυτές οι φάσεις μπορούν να ονομαστούν Αθηναϊκή και Αλεξανδρινή περίοδος.
Οι πρώτοι Ολυμπιακοί αγώνες έγιναν το 776 π.χ., εποχή που η ελληνική λογοτεχνία ήδη διέθετε έργα όπως του Ομήρου και του Ησιόδου, αλλά για τα μαθηματικά των Ελλήνων δε γνωρίζουμε τίποτα πριν από τον 6ο αι.π.Χ.. Ο τίτλος του πρώτου Έλληνα μαθηματικού προσιδιάζει μάλλον στο Θαλή τον Μιλήσιο (περ. 624-548 π.Χ..) ο οποίος λέγεται ότι έδωσε τις πρώτες αποδείξεις διαφόρων γεωμετρικών θεωρημάτων προετοιμάζοντας έτσι το μεγάλο, παραγωγικό αποδεικτικό σύστημα του Ευκλείδη. Ωστόσο η γνώση που έχουμε για τα μαθηματικά και γι’αυτή την περίοδο γενικά έχει μεγάλη δόση ιστορικής ασάφειας. Όχι μόνο δεν υπάρχουν γραπτά που να έχουν σωθεί από εκείνη την εποχή, αλλά αναγκαζόμαστε να βασιστούμε σε σχόλια γραμμένα μέχρι και χίλια χρόνια μετά από τα περιστατικά που υποτίθεται ότι περιγράφουν.
Τον 4ο αι. π.Χ., η Αθήνα υπήρξε το κέντρο της μεσογειακής πνευματικής ζωής, με την ίδρυση της Ακαδημίας του Πλάτωνα και το Λύκειο του Αριστοτέλη. Ο ρόλος του Πλάτωνα στην ιστορία των μαθηματικών παραμένει συζητήσιμος. Δεν άφησε δικά του μαθηματικά γραπτά αλλά, επηρέασε πάρα πολύ τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Στην Πολιτεία διατείνεται ότι τα μαθηματικά θα έπρεπε να αποτελούν θεμελιώδη γνώση για τους μελλοντικούς ηγέτες και στον Τίμαιο βρίσκουμε ένα είδος παραλλαγμένης πυθαγόρειας θεωρίας, όπου τα πλατωνικά στερεά συσχετίζονται με τα τέσσερα στοιχεία και το δωδεκάεδρο είναι σύμβολο ολόκληρου του σύμπαντος. Η επίδραση του Αριστοτέλη δεν ήταν πάντα θετικά για τα μαθηματικά. Η απαίτησή του για λογικές εξηγήσεις είχε θετική επίδραση, αλλά η άρνησή του να αντιμετωπίσει την χρήση του απείρου και των απειροστών, σε συνδυασμό με την αντίληψή του ότι η τέλεια κίνηση είναι η κίνηση που γίνεται σε κύκλους και ευθείες γραμμές, γιατί αυτά τα δύο σχήματα είναι τα μόνα τέλεια, μπορεί να θεωρηθεί μάλλον αρνητική.
Η Ακαδημία και το Λύκειο ήταν και οι δύο σημαντικά κέντρα μαθηματικής διδασκαλίας και έρευνας. Ο Αριστοτέλης ήταν δάσκαλος του Μ. Αλεξάνδρου, του οποίου η αυτοκρατορία στον κολοφώνα της δόξας της απλωνόταν μέχρι τη βόρεια Ινδία. Μετά το θάνατό του, η απέραντη αυτοκρατορία του διασπάστηκε και μοιράστηκε στους στρατηγούς του. Όμως, ένα από τα μέρη στα οποία διαιρέθηκε η αυτοκρατορία αναδείχθηκε σε κέντρο μάθησης υπό τη φωτισμένη μοναρχία του Πτολεμαίου Α΄- η καινούργια πόλη της Αλεξάνδρειας με το μουσείο της και την περίφημη βιβλιοθήκη. Η Αλεξάνδρεια δε θα αργούσε να υποσκελίσει την Αθήνα σ’αυτή τη δεύτερη περίοδο του κλασσικού ελληνικού πολιτισμού, που έμεινε στην ιστορία με το όνομα Χρυσός αιώνας των ελληνικών μαθηματικών.



Τα στοιχεία του Ευκλείδη

Το πιο σημαντικό έργο στην ιστορία των ελληνικών μαθηματικών είναι αναμφίβολα τα Στοιχεία του Ευκλείδη (περ.325-265π.Χ.). παρά τη μεγάλη του φήμη, ελάχιστα είναι γνωστά για τη ζωή του Ευκλείδη, ούτε καν ο τόπος γέννησής του. Ξέρουμε από ένα εδάφιο του μεταγενέστερου σχολιαστή Πρόκλου ότι ο Ευκλείδης δίδαξε στην Αλεξάνδρεια κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου και ότι όταν ο αυτοκράτορας του ζήτησε να του αποδείξει ένα σύντομο τρόπο για να μάθει γεωμετρία, εκείνος απάντησε, «δεν υπάρχει βασιλικός τρόπος προς τη γεωμετρία». Η φήμη των Στοιχείων επισκιάζει μερικές φορές το γεγονός ότι ο Ευκλείδης έγραψε και πολλά άλλα έργα για ζητήματα οπτικής, αστρονομία , μηχανικής και μουσικής. Όμως τα Στοιχεία παρέμειναν το βασικό εγχειρίδιο γεωμετρίας για πολλούς αιώνες, εξαλείφοντας στην ουσία τη ανάγκη χρήσης παλαιότερων βιβλίων, με αποτέλεσμα να μην έχουν επιβιώσει αντίγραφά τους. Όπως όλα τα εγχειρίδια, μεγάλο μέρος των Στοιχείων δεν είναι παρά σταχυολόγηση πολλών άλλων πηγών και πρέπει να είμαστε ευγνώμονες στον Ευκλείδη για την συγκέντρωσή τους σε ένα γενικά αποδεκτό μοντέλο παραγωγικού συστήματος θεωρημάτων και αποδείξεων. Τα Στοιχεία δεν αποτελούν σύνοψη όλων των ελληνικών μαθηματικών, μόνο του στοιχειώδους τμήματός τους. Δεν περιλαμβάνονται οι μέθοδοι υπολογισμού αλλά ούτε και πιο προχωρημένα μαθηματικά ζητήματα, όπως οι κωνικές τομές.
Τα Στοιχεία διαιρούνται σε 13 βιβλία και καλύπτουν τη στοιχειώδη επιπεδομετρία, τη θεωρία των αριθμών, τη θεωρία των ασυμμέτρων και τη στερεομετρία. Αρχίζουν απότομα από ένα κατάλογο 23 ορισμών, όπως π.χ. «Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρος» (Σημειον εστίν, ου μέρος ουθέν) και «Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος» (Γραμμή δε μήκος απλατές). Ακολουθούν 5 αιτήματα και 5 «κοινές έννοιες», από τα οποία το περίφημο πέμπτο αίτημα έχει τη δική του ανεξάρτητη ιστορία. Κάθε κεφάλαιο αρχίζει με πρόσθετους ορισμούς σχετικούς με το υπό διαπραγμάτευση θέμα. Για τον Ευκλείδη, οι ορισμοί ήταν πιο αυταπόδεικτοι από τα αιτήματα, αν και για εμάς σήμερα όλα μπαίνουν στην κατηγορία των αξιωμάτων. Τα αιτήματα είναι κατά κανόνα πρακτικές διαδικασίες, όπως «η χάραξη μίας ευθείας γραμμής από ένα σημείο σε άλλο», ενώ ο τέταρτος ορισμός δηλώνει ότι «Ευθεία είναι μια γραμμή που κείται εξίσου προς τα σημεία της». Συνολικά, βλέπουμε εδώ τον ορισμό της γεωμετρίας σε μεθόδους κατασκευής με τον κανόνα και τον διαβήτη. Αυτά τα δύο απλά εργαλεία αποτέλεσαν τις λογικές γεννήτριες του όλου συστήματος, δεδομένου ότι ο κύκλος και η γραμμή είναι τα πιο τέλεια σχήματα. Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν και άλλες «μηχανικές» μεθόδους κατασκευής, αλλά τα Στοιχεία δεν ασχολούνται με αυτές.
Τα βιβλία Ι-IV ασχολούνται με γεωμετρικές κατασκευές επιπέδων σχημάτων, δηλαδή τετραπλεύρων, κύκλων , τριγώνων και πολυγώνων που κατασκευάζονται με τη βοήθεια κύκλων. Έχει υποστηριχτεί ότι μέρη αυτών των βιβλίων, ιδιαίτερα το ΙΙ, παραπέμπουν σε ένα είδος αλγεβρικής γεωμετρίας, όπου οι γεωμετρικές κατασκευές παίζουν το ρόλο των αλγεβρικών πράξεων. Είτε αυτό ισχύει είτε όχι, αυτό που είναι εμφανές είναι ότι τουλάχιστον σε αυτά τα πρώτα θεωρήματα ο Ευκλείδης ασχολείται μόνο με καθαρά γεωμετρικές έννοιες. Ο όρος «μέγεθος» χρησιμοποιείται παντού για να υποδηλώσει οποιοδήποτε γεωμετρικό αντικείμενο -ένα ευθύγραμμο τμήμα ή σχήμα- και τα θεωρήματα ασχολούνται με τις κατασκευές αυτών των μεγεθών και τις σχέσεις ανάμεσά τους. Δεν γίνεται χρήση αριθμητικών εννοιών, όπως το μήκος, και έτσι το τετράγωνο, π.χ., αντιμετωπίζεται ως μία γεωμετρική κατασκευή που προκύπτει από ένα ευθύγραμμο τμήμα. Πουθενά δε δηλώνει ο Ευκλείδης ότι το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου είναι το γινόμενο των πλευρών του- αυτό έρχεται πολύ αργότερα. Άρα τα μεγέθη είναι η πιο βασική έννοια των Στοιχείων, το θεμέλιο όλου του έργου. Από αυτή την άποψη είναι ενδιαφέρον ότι η απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος γίνεται μέσω της ανακατασκευής σχημάτων, ενώ η χρήση των πραγματικών εμβαδών που περιέχουν θα μπορούσε να δώσει μια πολύ διαφορετική απόδειξη.
Το V είναι η γενική θεωρία των αναλογιών όπως παρουσιάστηκε από τον Εύδοξο. Μέλος της ακαδημίας του Πλάτωνα ο Εύδοξος ο Κνίδιος 9περ.408-355 π.Χ.) ήταν ένας από τους πιο διάσημους μαθηματικούς της εποχής του. Στο ενεργητικό του έχει δύο θεμελιώδεις ανακαλύψεις : τη θεωρία των αναλογιών και τη μέθοδο της εξάντληση. Το φαινομενικό αδιέξοδο των ασυμμέτρων παρακάμφθηκε κατά μεγάλο μέρος δεδομένου ότι μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν τα γινόμενα και τα πηλίκα τους μέσω των αναλογιών του Ευδόξου. Ο Ευκλείδης παραθέτει ικανό αριθμό κανόνων για τις αναλογίες και για τις προϋποθέσεις χρήσης τους. Η χρήση λόγων αντί κλασμάτων είχε μερικά πλεονεκτήματα. Μπορούσε κανείς να διατυπώσει κανόνες όπως «ο λόγος των εμβαδών των κύκλων είναι ανάλογος με τα τετράγωνα των διαμέτρων τους» και να χρησιμοποιήσει αυτών τον κανόνα σε κάποια θεωρήματα χωρίς να χρειαστεί να χρησιμοποιήσει το π, το οποίο είναι άρρητο. Επίσης, ο λόγος δύο μεγεθών του ίδιου τύπου είναι χωρίς διάσταση, και έτσι μπορεί να συγκριθεί αναλογικά με άλλους λόγους, όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Έτσι ο λόγος ήταν η βασικότερη σχέση μεταξύ μεγεθών και η θεωρία των αναλογιών έδινε τη δυνατότητα σε διαφορετικούς λόγους να συγκριθούν μεταξύ τους.
Το VI πραγματεύεται την ομοιότητα των σχημάτων και περιέχει μία γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήματος που δεν προσδιορίζεται στα τετράγωνα που κατασκευάζονται από τις πλευρές του τριγώνου, αλλά επεκτείνεται σε οποιοδήποτε κατασκευάσιμο σχήμα. Έτσι εάν κατασκευάσουμε ημικύκλια με διάμετρο την κάθε πλευρά του τριγώνου, τότε το άθροισμα των δύο μικρότερων ημικυκλίων ισούται με το μεγαλύτερο. 
Η θεωρία τω αριθμών περιλαμβάνεται στα βιβλία VII-IX . Για τον Ευκλείδη, οι «αριθμοί» ήταν οι ακέραιοι. Από τους ορισμούς του VII βλέπουμε ότι η αντιμετώπιση των αριθμών γίνεται ουσιαστικά γεωμετρικά. Ο Ευκλείδης λέει ότι «ο μεγαλύτερος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του μικρότερου όταν μπορεί να μετρηθεί από αυτόν» και ότι το γινόμενο δύο αριθμών είναι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου. Υπάρχει επίσης ο περίφημος κανόνας, γνωστός με το όνομα ευκλείδειος αλγόριθμος, για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών ή, με τα λόγια του Ευκλείδη, «του μεγαλύτερου κοινού μέτρου μεταξύ δύο μεγεθών». Στο ΙΧ βρίσκουμε την περίφημη απόδειξη, η οποία, με σύγχρονη ορολογία, δηλώνει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Στην πραγματικότητα, ο Ευκλείδης σκόπιμα αποφεύγει την αναφορά στο άπειρο. Δηλώνει ότι «οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε δεδομένο πλήθος πρώτων αριθμών» και προχωρεί στην απόδειξη αυτού του θεωρήματος για μόνο τρεις δεδομένους πρώτους. Η απαραίτητη επέκταση στους υπόλοιπους πρώτους αριθμούς θεωρείται αυτονόητη. Σε αυτό το βιβλίο αναφέρεται και ένας κανόνας κατασκευής τέλειων αριθμών. Τέλειος αριθμός είναι αυτός για τον οποίο το άθροισμα των διαιρετών του ισούται με τον ίδιο τον αριθμό. Ο πρώτος τέλειος αριθμός είναι το 6 και ο δεύτερος το 28 (με διαιρέτες τους 1, 2, 4, 7 και 14 που το άθροισμά τους είναι 28).
Το Χ είναι μια λεπτομερής ανάλυση των διαφόρων αρρήτων μηκών, όπου βρίσκουμε την έννοια της ασυμμετρίας μεταξύ γενικών μεγεθών να ανάγεται στην έννοια της αρρητότητας μεταξύ μηκών (και τετραγώνων). Εάν θεωρήσουμε μία ευθεία γραμμή, η οποία να ορίζεται ως ρητή, τότε οποιαδήποτε ευθεία γραμμή ασύμμετρη ως προς αυτή λέγεται ότι είναι άρρητη. Μακροσκελείς αποδείξεις παρατίθενται για όλους τους διαφόρους τύπους των άρρητων, από απλές τετραγωνικές ρίζες μέχρι πολύπλοκα συμπλέγματα ριζών. Η εξέταση των διαφόρων τρόπων αριθμητικής έκφρασης των αρρήτων είναι αποκαλυπτική για τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν τότε. Ο συμβολισμός που υπήρχε βασιζόταν στον ευκλείδειο αλγόριθμο, αλλά και η παράσταση στην οποία κατέληγε για έναν συγκεκριμένο άρρητο ήταν χρήσιμη, δεν υπήρχε απλή μέθοδος για να εκφράσει αθροίσματα ή γινόμενα με τον ίδιο τρόπο. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το Λήμμα 1 (λήμμα= προκαταρκτικό θεώρημα ), το οποίο βρίσκει δύο τετράγωνα που το άθροισμά τους να είναι και αυτό τετράγωνο- το πυθαγόρειο θεώρημα από τη σκοπιά της θεωρίας των αριθμών χωρίς καμία αναφορά στην απόδειξη που παρατίθεται στο τέλος του Ι. Σε αυτό το βιβλίο υπονοείται σαφώς ότι αυτές οι αριθμητικές και γεωμετρικές μέθοδοι δεν είναι παρά ένα προοίμιο για πιο προχωρημένα προβλήματα, όπως η εύρεση των εμβαδών και τα προβλήματα τετραγωνισμού. Μπορεί επίσης να σημειωθεί ότι οι άρρητους στους οποίους γίνεται αναφορά μπορούν όλοι να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη- π.χ. δεν υπάρχουν κυβικές ρίζες. Η εκτενέστατη ταξινόμηση των αρρήτων αποκτά νόημα στα τελευταία κεφάλαια των Στοιχείων, όπου επανεμφανίζονται σε σχέση με τα κανονικά πολύεδρα.
Τα τελευταία βιβλία των στοιχείων ασχολούνται με τη στερεομετρία και χρησιμοποιούν τη μέθοδο του Ευδόξου για την εύρεση με αυστηρό μαθηματικό τρόπο εμβαδών και όγκων μέσω αλλεπάλληλων προσεγγίσεων. Ο Αρχιμήδης απέδωσε στον Εύδοξο την πρώτη απόδειξη ότι ο όγκος του κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου ενός κυλίνδρου με ίση βάση και ύψος, και μεγάλο μέρος του ΧΙΙ θεωρείται ότι βασίζεται στην εργασία του Ευδόξου. Το ΧΙΙΙ κλείνει με την απόδειξη ότι υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πλατωνικά στερεά, τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν από τρίγωνα, τετράγωνα και πεντάγωνα. Όλα τα στερεά κατασκευάζονται μέσα σε μία σφαίρα και υπολογίζονται τα αποστήματα- αποστάσεις από το κέντρο, των πλευρών των στερεών. Εδώ επανεμφανίζονται οι άρρητοι που περιγράφονται στο Χ. Και πέφτει η αυλαία μιας συμφωνίας σε 13 μέρη.
Τα Στοιχεία υπήρξαν το πιο σημαντικό εγχειρίδιο όλων τω εποχών. Αντιγράφτηκε και ξαναντιγράφτηκε με σχόλια πάνω σε προηγούμενα σχόλια, μεταφράστηκε και προσαρμόστηκε στις ανάγκες και στην κουλτούρα διάφορων πολιτισμών. Είναι σχεδόν αδύνατο να ανασυστήσει κανείς το έργο του Ευκλείδη, καθώς ολοκληρωμένα αντίγραφα έχουμε μόνο μετά τον 9ο αι. μ.Χ., αλλά η εκτίμηση στην οποία το είχαν φαίνεται από το ότι όχι μόνο επέζησε αλλά και έσβησε όλα τα άλλα Στοιχεία που είχαν προηγηθεί.
Τα Στοιχεία είναι το σύγγραμμα με τις περισσότερες εκδόσεις μετά την Αγία Γραφή.



Το μετά

Η Αλεξάνδρεια παρέμεινε κέντρο μάθησης για πολύ καιρό. Ο Απόλλωνας ο Περγαίος (262-190 π.Χ.) που την αποκαλούσε κοιτίδα της γεωμετρίας, σπούδασε και δίδαξε εκεί. Το πιο σημαντικό του έργο είναι μια εξελιγμένη γεωμετρική μελέτη, Τα κωνικά. Κωνικές τομές λέγονται τα σχήματα που προκύπτουν αν κόψει κανείς έναν κώνο υπό διάφορες γωνίες : ο κύκλος, η έλλειψη, η παραβολή και η υπερβολή. Εκεί σπούδασε ο Αρχιμήδης αλλά και ο Πτολεμαίος και ο Διόφαντος (περ.250 μ.Χ.). Τον 4ο αι.μ.Χ. η λάμψη της Αλεξάνδρειας σβήνει και περιορίζονται οι προσωπικές ελευθερίες. Η Υπατία (περ.370-415), κόρη του Θέωνα του Αλεξανδρέως, πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία, ήταν επικεφαλής της Πλατωνικής σχολής στην Αλεξάνδρεια καθώς το όλο και ισχυρότερο Χριστιανικό κίνημα δεν ανεχόταν αυτό που θεωρούσε ειδωλολατρική επιστήμη και φιλοσοφία. Θανατώθηκε από έναν όχλο φανατισμένων Χριστιανών, κάτι που θεωρείται η αρχή του τέλους για την Αλεξάνδρεια της γνώσης και της μάθησης. Όσο για τα μαθηματικά, το κέντρο βάρους είχε μετακινηθεί ανατολικά, στη Βαγδάτη. 


Το πολύ μετά


Το οριστικό διαζύγιο από μία καθαρά γεωμετρική προσέγγιση των πραγμάτων ήρθε από τον Ρενέ Ντεκάρτ (Καρτέσιος 1596-1650). Ο Καρτέσιος επέφερε με τις καρτεσιανές συντεταγμένες τη μεγαλύτερη ίσως μαθηματική επανάσταση. Ο γάμος της άλγεβρας και της γεωμετρίας απελευθέρωσε τη γεωμετρία από τους περιορισμούς που έθεταν οι κατασκευές με τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Θα ήταν ίσως σωστό να θεωρήσουμε ότι η σημασία του Ντεκάρτ έγκειται στο ότι έδωσε στους μελλοντικούς μαθηματικούς μια νέα μέθοδο ή γλώσσα, με την οποία να διατυπώνουν τα μαθηματικά προβλήματα και μια ασφαλή ισοτιμία μεταξύ αλγεβρικών και γεωμετρικών μεθόδων.


ΠΗΓΗ: «Η ιστορία των μαθηματικών» (Richard Mankiewicz)